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Tangent Circles, Angle Bisector, Cyclic Quadrilateral. Level: High School, SAT Prep, College geometry
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Monday, May 19, 2008
Elearn Geometry Problem 57
Labels:
angle,
angle bisector,
circle,
cyclic quadrilateral,
tangent
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Tracemos a reta r tangente ao círculo de centro O no ponto B. Sabemos do problema 53 que se prolongarmos BE até encontrar o círculo de centro O no ponto I, teremos que o arco CE = arco ID. Seja arc(ID) = e arc(EB) = x. Assim, ang(EBr) = (1/2)arc(IB) = (1/2)arc(EB). Teremos que e ang(DEB) = (1/2) arc(EB). Como o prolongamento de GH também encontro o círculo de centro O no ponto I, temos Ang(IGB) é inscritro do círculo de centro O e Ang(IGB) = (1/2).arc(IB). Concluimos que Ang(IGB) = Ang(DEB). Assim, Ang(IGB) + Ang(HEB) = 180º, o que concluímos que o quadrilátero BEHG é cíclico.
ReplyDeletehttp://img695.imageshack.us/img695/8219/problem57.png
ReplyDeletePer result of problem 54
GH will intersect EB at midpoint M of arc CD
Triangle MED similar to tri. MDB ( case AA)
Ratio of sides of 2 triangles will give ME.MB=MD^2
Similarly Triangles MHC similar to tri. MCG and MH.MG=MC^2=MD^2
So ME.MB=MH.MG and quadrilateral BEHG is cyclic.
Peter Tran