Geometry Problem
Level: Mathematics Education, High School, Honors Geometry, College.
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Thursday, January 16, 2014
Geometry Problem 959. Triangle, Sides Ratio 4:1, Inradius, Exradius, Cevian, Mean Proportional, Geometric Mean
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By Sine Law, sin B = 4 sin C.
ReplyDeleter = 4R sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2)
r_a = 4R sin(A/2) cos(B/2) cos(C/2)
√(r r_a)
= 4R sin(A/2) √[1/4 sin B sin C]
= 4R sin(A/2) sin C
= 2 AB sin(A/2)
= BD
What is R in your proof?
ReplyDeleteR is the radius of the circumcircle of triangle.
ReplyDeletei) Vamos calcular o raio r da circunferência inscrita ao triângulo ABC
ReplyDeleteA área do triângulo ABC é a soma das áreas dos triângulos AIB, BIC e CIA, que possuem altura igual a r, raio da circunferência inscrita. Portanto :
S= (a.r)/2+ (b.r)/2+ (c.r)/2
S= r.((a+b+c)/2)
Fazendo p= (a+b+c)/2 , temos :
S= r.p
r= S/p
ii) Vamos calcular o raio r_a da circunferência ex-inscrita em função da área do triângulo ABC
Para isso vamos achar a área de outros triângulos:
S= (b.r_a)/2+ (c.r_a)/2- (a.r_a)/2
S= r_a.((-a+b+c)/2)
S= r_a.((a+b+c-2a)/2)
S= r_a.((a+b+c)/2- 2a/2)
Fazendo p= (a+b+c)/2 , temos :
S= r_a.(p-a)
r_a=S/((p-a) )
iii) Desta forma a média geométrica de r e r_a é dado por :
√(r .r_a )= √(S/p .S/((p-a))) = √(S^2/(p.(p-a))) ( 1 )
Por outro lado pela fórmula de Heron a área de qualquer triângulo pode ser dada por
S= √(p.(p-a).(p-b).(p-c))
Assim substituindo em ( 1 ) , obtemos :
√((√(p.(p-a).(p-b).(p-c) ))^2/(p.(p-a) ))=√((p.(p-a).(p-b).(p-c))/(p.(p-a) )) =
√(r .r_a )= √((p-b).(p-c) ) (#)
iv) Vamos calcular (BD) ̅ em função dos lados do triângulo ABC usando a fórmula da lei dos cossenos.
Temos: AD = AB = c e AC = 4C = b, ,logo:
(BD) ̅^2= c^2+ c^2- 2.c.c .cosÂ
(BD) ̅^2= 2c^2- 2c^2.cosÂ
(BD) ̅^2= 2c^2 (1-cosÂ) (2)
Por outro lado
a^2= b^2+ c^2- 2.b.c .cosÂ
cosÂ= (〖- a^2+b〗^2+ c^2)/(- 2.b.c )
cosÂ= (〖 a^2-b〗^2- c^2)/( 2.b.c )
Substituindo em (2), temos :
(BD) ̅^2= 2c^2 (1-(〖 a^2-b〗^2- c^2)/( 2.b.c ))
(BD) ̅^2= 2c^2 ((〖 〖2.b.c +a〗^2-b〗^2- c^2)/( 2.b.c ))
(BD) ̅^2= (2c^2)/(2.b.c ) (〖 〖2.b.c +a〗^2-b〗^2- c^2 )
(BD) ̅^2= c/b (〖 a^2-(b〗^2-2.b.c + c^2 ))
(BD) ̅^2= c/b (a^2-〖(b-c)〗^2 )
(BD) ̅^2= c/b (a-(b-c)).(a+(b-c)
(BD) ̅^2= c/b (a-b+c).(a+b-c)
(BD) ̅^2= c/b (a+b+c-2b).(a+b+c-2c).4/4
(BD) ̅^2= 4c/b ((a+b+c-2b)/2).((a+b+c-2c)/2)
(BD) ̅^2= 4c/b ((a+b+c)/2-2b/2).((a+b+c)/2-2c/2)
(BD) ̅^2= 4c/b ((a+b+c)/2-b).((a+b+c)/2-c)
Mas p= (a+b+c)/2 , assim
(BD) ̅^2= 4c/b (p-b).(p-c)
E como b = 4c
(BD) ̅^2= 4c/4c (p-b).(p-c)
(BD) ̅^2= (p-b).(p-c)
(BD) ̅= √((p-b).(p-c) ) ( ##)
Desta forma de (#) e (##) podemos concluir que
(BD) ̅=√(r .r_a )