See complete Problem 191 at:
www.gogeometry.com/problem/p191_triangle_altitude_square_area.htm
Triangle, Altitudes, Orthocenter, Squares, Areas. Level: High School, SAT Prep, College geometry
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Tuesday, October 14, 2008
Elearn Geometry Problem 191
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A',O,B',C concyclic, AA'*AO=AC*AB'
ReplyDeleteB,C,B',C' concyclic, AC*AB'=AB*AC'
2AA'*AO=AB*AC'+AB'*AC
2BB'*BO=BC*BA'+BC'*BA
2CC'*CO=CA*CB'+CA'*CB
2(AA'*AO+BB'*BO+CC'*CO)=AB(AC'+C'B)+BC(BA'+A'C)+CA(CB'+B'A)=AB²+BC²+CA²=S_a+S_b+S_c
He deducido que es imposible, salvo que ABC sea equilátero. Partí del 2º miembro para llegar al 1º. Muy sencillo: apliqué la propiedad geométrica del producto escalar, y se impone que el triángulo ha de ser equilátero.
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