Monday, May 19, 2008

Geometry Problem 101



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Triangle, Angles, Midpoint, Congruence. Level: High School, SAT Prep, College geometry

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4 comments:

  1. Here's a solution by analytical geometry for whatever it's worth: Let C be (-p,0), B:(p,0) and therefore A:(0,V3p)where V = square root. Let D be any point (x,y). Now slope CD = y/(p+x) and slope BD = y/(p-x)and thus, tan(BDC)=-tan(DCB+DBC)=[y/(p+x)+y/(p-x)]/[y/(p+x)*y/(p-x)-1]
    or tan(BDC) = 2py/(x^2+y^2-p^2) ---------(1)
    Now b^2 = (x-p)^2+y^2 & c^2 = (x+p)^2+y^2 while
    a^2 =x^2+(y-V3p)^2. But a^2 =b^2+c^2. Therefore we can write:
    (x-p)^2+y^2+(x+p)^2+y^2=x^2+(y-V3p)^2 which yields: x^2 + y^2 - p^2 + 2V3py = 0 or
    x^2 + y^2 - p^2 = - 2V3py. Using this in equation (1) we've: tan(BDC) = 2py/- 2V3py
    = -1/V3
    Hence angle BDC = 150 deg.
    QED
    Ajit: ajitathle@gmail.com

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  2. http://geometri-problemleri.blogspot.com/2009/05/problem-18-ve-cozumu.html

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  3. Sea el punto O el punto simétrico de A respecto
    a la recta AB, de tal forma que △CBO es equilátero
    y congruente con △BCA. Defínase el punto E como
    el punto interior a △CBO tal que CE=b, BE=c y OE=a.
    Sea P el centro de simetría del rombo ABOC.
    De este manera E es el punto simétrico a D respecto a P.
    Dada estas condiciones es claro que ADOE,
    DBEC y ABOC son todos paralelogramos.
    Llamemos s la longitud del lado de los
    triángulos equiláteros △ABC y △BOC.
    Llamemos 'q' a la longitud de la diagonal ED,
    'r' a la longitud del lado DO, y 't' a la longitud de la diagonal AO.
    Por ley de paralelogramo sobre ABOC,
    DBEC y ADOE, respectivamente:
    4s²=s²+t²
    2c²+2b²=2a²=q²+s²
    2a²+2r²=q²+t²
    En la segunda ecuación se ha usado la hipótesis
    de la relación pitagórica a²=b²+c².
    De estas relaciones anteriores se deduce que:
    2r²=2a²-s²-2a²+3s²=2s².
    Por lo tanto r=s. Esto implica que el cricuncentro
    del triángulo CDB es precisamente el punto O.
    Al ser el ángulo central ∡COB=300° el ángulo
    ∡CDB será su respectivo ángulo inscrito,
    por lo que ∡CDB=∡COB/2=150°. Q.E.D.

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  4. http://img199.imageshack.us/img199/3421/rte.bmp
    Draw equilateral triangle BDE (see sketch)
    note that ∡ (EBC)= ∡ (DBA) and DE=DB=b and ∡ (EDB)=60
    Triangle DBA congruent to EBC (case SAS) => DA=EC=a
    In triangle CDE we have a^2=b^2+c^2 => ∡ (CDE)=90
    So ∡ (CDB)=150

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