Thursday, January 16, 2014

Geometry Problem 959. Triangle, Sides Ratio 4:1, Inradius, Exradius, Cevian, Mean Proportional, Geometric Mean

Geometry Problem
Level: Mathematics Education, High School, Honors Geometry, College.

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Online Geometry Problem 959. Triangle, Sides Ratio 4:1, Inradius, Exradius, Cevian, Mean Proportional, Geometric Mean

4 comments:

  1. By Sine Law, sin B = 4 sin C.

    r = 4R sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2)
    r_a = 4R sin(A/2) cos(B/2) cos(C/2)

    √(r r_a)
    = 4R sin(A/2) √[1/4 sin B sin C]
    = 4R sin(A/2) sin C
    = 2 AB sin(A/2)
    = BD

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  2. What is R in your proof?

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  3. R is the radius of the circumcircle of triangle.

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  4. i) Vamos calcular o raio r da circunferência inscrita ao triângulo ABC






    A área do triângulo ABC é a soma das áreas dos triângulos AIB, BIC e CIA, que possuem altura igual a r, raio da circunferência inscrita. Portanto :
    S= (a.r)/2+ (b.r)/2+ (c.r)/2
    S= r.((a+b+c)/2)
    Fazendo p= (a+b+c)/2 , temos :
    S= r.p
    r= S/p

    ii) Vamos calcular o raio r_a da circunferência ex-inscrita em função da área do triângulo ABC


    Para isso vamos achar a área de outros triângulos:

    S= (b.r_a)/2+ (c.r_a)/2- (a.r_a)/2
    S= r_a.((-a+b+c)/2)
    S= r_a.((a+b+c-2a)/2)
    S= r_a.((a+b+c)/2- 2a/2)

    Fazendo p= (a+b+c)/2 , temos :

    S= r_a.(p-a)
    r_a=S/((p-a) )

    iii) Desta forma a média geométrica de r e r_a é dado por :
    √(r .r_a )= √(S/p .S/((p-a))) = √(S^2/(p.(p-a))) ( 1 )

    Por outro lado pela fórmula de Heron a área de qualquer triângulo pode ser dada por
    S= √(p.(p-a).(p-b).(p-c))
    Assim substituindo em ( 1 ) , obtemos :

    √((√(p.(p-a).(p-b).(p-c) ))^2/(p.(p-a) ))=√((p.(p-a).(p-b).(p-c))/(p.(p-a) )) =
    √(r .r_a )= √((p-b).(p-c) ) (#)

    iv) Vamos calcular (BD) ̅ em função dos lados do triângulo ABC usando a fórmula da lei dos cossenos.

    Temos: AD = AB = c e AC = 4C = b, ,logo:

    (BD) ̅^2= c^2+ c^2- 2.c.c .cos⁡Â
    (BD) ̅^2= 2c^2- 2c^2.cos⁡Â
    (BD) ̅^2= 2c^2 (1-cos⁡Â) (2)

    Por outro lado
    a^2= b^2+ c^2- 2.b.c .cos⁡Â
    cos⁡Â= (〖- a^2+b〗^2+ c^2)/(- 2.b.c )
    cos⁡Â= (〖 a^2-b〗^2- c^2)/( 2.b.c )

    Substituindo em (2), temos :

    (BD) ̅^2= 2c^2 (1-(〖 a^2-b〗^2- c^2)/( 2.b.c ))
    (BD) ̅^2= 2c^2 ((〖 〖2.b.c +a〗^2-b〗^2- c^2)/( 2.b.c ))
    (BD) ̅^2= (2c^2)/(2.b.c ) (〖 〖2.b.c +a〗^2-b〗^2- c^2 )
    (BD) ̅^2= c/b (〖 a^2-(b〗^2-2.b.c + c^2 ))
    (BD) ̅^2= c/b (a^2-〖(b-c)〗^2 )
    (BD) ̅^2= c/b (a-(b-c)).(a+(b-c)
    (BD) ̅^2= c/b (a-b+c).(a+b-c)
    (BD) ̅^2= c/b (a+b+c-2b).(a+b+c-2c).4/4
    (BD) ̅^2= 4c/b ((a+b+c-2b)/2).((a+b+c-2c)/2)
    (BD) ̅^2= 4c/b ((a+b+c)/2-2b/2).((a+b+c)/2-2c/2)
    (BD) ̅^2= 4c/b ((a+b+c)/2-b).((a+b+c)/2-c)
    Mas p= (a+b+c)/2 , assim
    (BD) ̅^2= 4c/b (p-b).(p-c)

    E como b = 4c

    (BD) ̅^2= 4c/4c (p-b).(p-c)
    (BD) ̅^2= (p-b).(p-c)
    (BD) ̅= √((p-b).(p-c) ) ( ##)

    Desta forma de (#) e (##) podemos concluir que
    (BD) ̅=√(r .r_a )

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