Proposed Problem
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Complete Geometry Problem 364
Level: High School, SAT Prep, College geometry
Monday, October 12, 2009
Problem 364. Obtuse triangle, Congruence, Circles, Diameter, Curvilinear triangle, Area
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Sejam E, F e G os pontos de intersecção dos lados AB, BC e AC com as circunfências e O1, O2 e O3 os centros dos círculos de diâmetros respectivamente iguais a AD, DC e DB. Os círculos tem raios de mesma medida. Assim as cordas DE, DF e DG são perpendiculares aos lados AB, BC e AC do triângulo ABC. Como os triângulos ADB, BCD e ADC são isósceles, teremos que DE, DF e DG são as respectivas alturas e medianas relativas aos lados AB, BC e AC. Assim, E, F e G são pontos médios dos lados AB, BC e DE e, podemos concluir que EG // BC e FG // BE. Então, a área do segmento circular EG do círculo de centro O1 é congruente ao segmento circular BF do círculo de centro O3 e o segmento circular EB do círculo de centroO3 é congruente ao segmento circular GF do círculo de centro O2. Sendo assim, a área do triângulo circular S1 é congruente ao paralelogramo BEGF que tem área igual a metade da área do triângulo ABC. Fica provado que S = 2.S1.
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