See complete Problem 101
Triangle, Angles, Midpoint, Congruence. Level: High School, SAT Prep, College geometry
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Monday, May 19, 2008
Geometry Problem 101
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Triangle, Angles, Midpoint, Congruence. Level: High School, SAT Prep, College geometry
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Here's a solution by analytical geometry for whatever it's worth: Let C be (-p,0), B:(p,0) and therefore A:(0,V3p)where V = square root. Let D be any point (x,y). Now slope CD = y/(p+x) and slope BD = y/(p-x)and thus, tan(BDC)=-tan(DCB+DBC)=[y/(p+x)+y/(p-x)]/[y/(p+x)*y/(p-x)-1]
ReplyDeleteor tan(BDC) = 2py/(x^2+y^2-p^2) ---------(1)
Now b^2 = (x-p)^2+y^2 & c^2 = (x+p)^2+y^2 while
a^2 =x^2+(y-V3p)^2. But a^2 =b^2+c^2. Therefore we can write:
(x-p)^2+y^2+(x+p)^2+y^2=x^2+(y-V3p)^2 which yields: x^2 + y^2 - p^2 + 2V3py = 0 or
x^2 + y^2 - p^2 = - 2V3py. Using this in equation (1) we've: tan(BDC) = 2py/- 2V3py
= -1/V3
Hence angle BDC = 150 deg.
QED
Ajit: ajitathle@gmail.com
http://geometri-problemleri.blogspot.com/2009/05/problem-18-ve-cozumu.html
ReplyDeleteSea el punto O el punto simétrico de A respecto
ReplyDeletea la recta AB, de tal forma que △CBO es equilátero
y congruente con △BCA. Defínase el punto E como
el punto interior a △CBO tal que CE=b, BE=c y OE=a.
Sea P el centro de simetría del rombo ABOC.
De este manera E es el punto simétrico a D respecto a P.
Dada estas condiciones es claro que ADOE,
DBEC y ABOC son todos paralelogramos.
Llamemos s la longitud del lado de los
triángulos equiláteros △ABC y △BOC.
Llamemos 'q' a la longitud de la diagonal ED,
'r' a la longitud del lado DO, y 't' a la longitud de la diagonal AO.
Por ley de paralelogramo sobre ABOC,
DBEC y ADOE, respectivamente:
4s²=s²+t²
2c²+2b²=2a²=q²+s²
2a²+2r²=q²+t²
En la segunda ecuación se ha usado la hipótesis
de la relación pitagórica a²=b²+c².
De estas relaciones anteriores se deduce que:
2r²=2a²-s²-2a²+3s²=2s².
Por lo tanto r=s. Esto implica que el cricuncentro
del triángulo CDB es precisamente el punto O.
Al ser el ángulo central ∡COB=300° el ángulo
∡CDB será su respectivo ángulo inscrito,
por lo que ∡CDB=∡COB/2=150°. Q.E.D.
http://img199.imageshack.us/img199/3421/rte.bmp
ReplyDeleteDraw equilateral triangle BDE (see sketch)
note that ∡ (EBC)= ∡ (DBA) and DE=DB=b and ∡ (EDB)=60
Triangle DBA congruent to EBC (case SAS) => DA=EC=a
In triangle CDE we have a^2=b^2+c^2 => ∡ (CDE)=90
So ∡ (CDB)=150
https://goo.gl/Hj5iWc
ReplyDeleteAnd if d is the side of ABC, d = √(c^2 + √3·a·b)